Экспоненциальное распределение. Смотреть страницы где упоминается термин распределение экспоненциальное Плотность экспоненциального распределения
(ТЕОРИЯ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА И АНАЛИЗ СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ)
Показательный (экспоненциальный) закон распределения
Непрерывная случайная величина X имеет экспоненциальный закон распределения с параметром X, если ее плотность вероятности имеет вид Функция распределения вероятностей Вероятность отказа работы некоторого устройства за время х Для случайной величины X, распределенной по экспоненциальному...(ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА)
Геометрическое распределение
Геометрическое распределение неразрывно связано с биномиальным. Отличие состоит в том, что биномиальная случайная величина определяет вероятность т успехов в п испытаниях, а геометрическая - вероятность п испытаний до первого успеха (включая первый успех). Пусть производятся независимые...(СТАТИСТИКА С ЭЛЕМЕНТАМИ ЭКОНОМЕТРИКИ)
Геометрическое распределение и его обобщения
Определение. Дискретная случайная величина X = т имеет геометрическое распределение с параметром р, если она принимает значения 1, 2, ...» т... (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями где Ряд геометрического распределения ...(ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ)
Эффективность распределения ресурсов в условиях конкурентного рынка
Рыночная экономика, работающая в условиях ограниченных ресурсов, должна так их распределить, чтобы максимизировать удовлетворение общественных потребностей. Этой же цели способствует лучшее использование ресурсов на каждом предприятии и в каждой отрасли. В этом случае общественное производство эффективно....(Экономическая теория)
Распределение доходов и социальная политика
Рыночный механизм формирования доходов Отличительной чертой современной рыночной экономики является ее социальная направленность. Развитие экономики, с одной стороны, позволяет осуществлять более сложные социальные программы, а с другой - решение социальных проблем служит важным фактором роста...(Экономическая теория)
Как было сказано ранее, примерами распределений вероятностей непрерывной случайной величины Х являются:
- равномерное распределение вероятностей непрерывной случайной величины;
- показательное распределение вероятностей непрерывной случайной величины;
- нормальное распределение вероятностей непрерывной случайной величины.
Дадим понятие равномерного и показательного законов распределения, формулы вероятности и числовые характеристики рассматриваемых функций.
| Показатель | Раномерный закон распределения | Показательный закон распределения |
|---|---|---|
| Определение | Равномерным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого сохраняет постоянное значение на отрезке и имеет вид | Показательным (экспоненциальным) называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которое описывается плотностью, имеющей вид |
 где λ – постоянная положительная величина |
||
| Функция распределения |  |
 |
| Вероятность попадания в интервал |  |
 |
| Математическое ожидание |  |
|
| Дисперсия |  |
|
| Среднее квадратическое отклонение |  |
Примеры решения задач по теме «Равномерный и показательный законы распределения»
Задача 1.
Автобусы идут строго по расписанию. Интервал движения 7 мин. Найти: а) вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее двух минут; б) вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус не менее трех минут; в) математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины X – времени ожидания пассажира.
Решение. 1. По условию задачи непрерывная случайная величина X={время ожидания пассажира} равномерно распределена между приходами двух автобусов. Длина интервала распределения случайной величины Х равна b-a=7, где a=0, b=7.
2. Время ожидания будет менее двух минут, если случайная величина X попадает в интервал (5;7).
Вероятность попадания в заданный интервал найдем по формуле:
Р(х 1 <Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a)
.
Р(5 < Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.
3. Время ожидания будет не менее трех минут (т.е. от трех до семи мин.), если случайная величина Х попадает в
интервал (0;4). Вероятность попадания в заданный интервал найдем по формуле:
Р(х 1 <Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a)
.
Р(0 < Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.
4. Математическое ожидание непрерывной, равномерно распределенной случайной величины X – времени ожидания пассажира, найдем по формуле: М(Х)=(a+b)/2 . М(Х) = (0+7)/2 = 7/2 = 3,5.
5. Среднее квадратическое отклонение непрерывной, равномерно распределенной случайной величины X – времени ожидания пассажира, найдем по формуле: σ(X)=√D=(b-a)/2√3 . σ(X)=(7-0)/2√3=7/2√3≈2,02.
Задача 2.
Показательное распределение задано при x ≥ 0 плотностью f(x) = 5e – 5x. Требуется: а) записать выражение для функции распределения; б) найти вероятность того, что в результате испытания X попадает в интервал (1;4); в) найти вероятность того, что в результате испытания X ≥ 2 ; г) вычислить M(X), D(X), σ(X).
Решение. 1. Поскольку по условию задано показательное распределение , то из формулы плотности распределения вероятностей случайной величины X получаем λ = 5. Тогда функция распределения будет иметь вид:
2. Вероятность того, что в результате испытания X попадает в интервал (1;4) будем находить
по формуле:
P(a < X < b) = e −λa − e −λb
.
P(1 < X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .
3. Вероятность того, что в результате испытания X ≥ 2 будем находить по формуле:
P(a < X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞.
Р(Х≥2) = P(1< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ =
e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).
4. Находим для показательного распределения:
- математическое ожидание по формуле M(X) =1/λ = 1/5 = 0,2;
- дисперсию по формуле D(X) = 1/ λ 2 = 1/25 = 0,04;
- среднее квадратическое отклонение по формуле σ(Х) = 1/λ = 1/5 = 1,2.
Определение 2. Х имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром , если ее плотность вероятности имеет вид:
Функция распределения случайной величины, распределенной по показательному закону, равна
Действительно,
Кривая распределения и график функции распределения приведены ниже:
Для случайной величины, распределенной по показательному закону
Действительно,
Вероятность попадания в интервал непрерывной случайной величины Х , распределенной по показательному закону, находится по формуле
Замечание 1. Показательный закон распределения вероятностей встречается во многих задачах, связанных с простейшим потоком событий. Под потоком событий понимают последовательность событий, наступающих одно за другим в случайные моменты. Например, поток вызовов на телефонной станции, поток заявок в системе массового обслуживания и др.
Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, функция распределения которого
определяет вероятность отказа элемента за время длительностью t . Здесь Т – длительность времени безотказной работы элемента, λ − интенсивность отказов (среднее число отказов в единицу времени).
Функция надежности
определяет вероятность безотказной работы элемента за время длительностью t .
Пример 2. Установлено, что время ремонта магнитофонов есть случайная величина Х , распределенная по показательному закону. Определить вероятность того, что на ремонт магнитофона потребуется не менее 15 дней, если среднее время ремонта магнитофонов составляет 12 дней. Найти плотность вероятности, функцию распределения и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х .
Решение. По условию математическое ожидание =12, откуда параметр и тогда плотность вероятности и функция распределения имеют вид: , (). Искомую вероятность можно найти, используя функцию распределения:
Среднее квадратическое отклонение дней.
Пример 3. Испытывают три элемента, которые работают независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону:
для первого элемента ;
для второго ;
для третьего элемента .
Найти вероятности того, что в интервале времени (0;5) ч. откажут: а) только один элемент; б) только два элемента; в) все три элемента.
Решение. Вероятность отказа первого элемента
Вероятность отказа второго элемента
Вероятность отказа третьего элемента
Искомая вероятность
3. Нормальное распределение. В теории вероятностей и математической статистике важнейшую роль играет так называемое нормальное или гауссовское распределение. Оно также широко применяется и при решении прикладных задач. Значимость нормального распределения определяется тем, что оно служит хорошим приближением для большого числа наборов случайных величин, получаемых при наблюдениях и экспериментах. Нормальное распределение почти всегда имеет место, когда наблюдаемые случайные величины формируются под влиянием большого числа случайных факторов, ни один из которых существенно не превосходит остальные.
Определение 3. Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами а и σ, если ее плотность вероятности имеет вид:
Кривую нормального закона распределения называют нормальной или кривой Гаусса .
График функции плотности нормального закона представляет собой колоколообразную кривую, принимающую наибольшее значение в точке и быстро убывающую при .
Докажем, что . Действительно
Используя несобственные двойные интегралы можно доказать, что
Этот интеграл называется интегралом Пуассона. Подставив этот результат в последнее выражение, получим .
Сложность непосредственного нахождения функции распределения случайной величины, распределенной по нормальному закону, и вероятности ее попадания на некоторый промежуток связана с тем, что интеграл от функции (15) не берется в элементарных функциях. Поэтому ее выражают через функцию Лапласа (интеграл вероятностей), для которой составлены таблицы.
Найдем функцию распределения случайной величины Х , распределенной по нормальному закону:
Так как (подынтегральная функция четная).
Таким образом,
Для случайной величины, распределенной по нормальному закону,
Выясним как будет меняться нормальная кривая при изменении параметров a иσ. Если и меняется параметр a – центр симметрии распределения, то нормальная кривая будет смещаться вдоль оси абсцисс, не меняя формы.
Если и меняется параметр – разброс значений случайной величины от центра симметрии распределения, то при увеличении уменьшается, но т.к. площадь под любой кривой распределения должна оставаться равной 1, то кривая становится более плоской, растягиваясь вдоль оси Ox. При уменьшении увеличивается и нормальная кривая вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков.
В соответствии со свойством функции распределения, вероятность попадания значений нормальной случайной величины Х в интервал определяется формулой
4. Вероятность заданного отклонения для нормального распределения. Вероятность того, что отклонение случайной величины Х , распределенной по нормальному закону, от математического ожидания а не превысит величину (по абсолютной величине), равна
«Правило трех сигм»: Если случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами а и , т.е. , то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале :
Отклонение по абсолютной величине нормально распределенной СВ X больше, чем на , является событием практически невозможным, т.к. его вероятность весьма мала:
Т.к. кривая Гаусса симметрична относительно математического ожидания, то коэффициент асимметрии нормального распределения . Эксцесс нормального распределения Е =0 и крутость других распределений определяется по отношению к нормальному.
Замечание 2. Случайная величина, имеющая нормальное распределения с параметрами и , называется стандартной (нормированной) нормальной случайной величиной, а ее распределение – стандартным (нормированным) нормальным распределением.
Плотность и функция стандартного нормального распределения даются формулами:
Пример 4. Определить закон распределения случайной величины Х , если ее плотность распределения вероятностей задана функцией:
Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения случайной величины Х .
Решение. Сравнивая данную функцию с функцией плотности вероятности для случайной величины, распределенной по нормальному закону, заключаем, что случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами а = 1 и .и, следовательно, .
Пример 7. Рост взрослых мужчин является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Пусть математическое ожидание ее равно 175 см, а среднее квадратическое отклонение – 6 см. Определить вероятность того, что хотя бы один из наудачу выбранных пяти мужчин будет иметь рост от 170 до 180 см.
Решение. Найдем вероятность того, что рост мужчины будет принадлежать интервалу (180;170):
Тогда вероятность того, что рост мужчины не будет принадлежать интервалу (170; 180): . Вероятность того, что хотя бы один из 5 мужчин будет иметь рост от 170 до 180 см равна: .
Отметим здесь основные понятия и формулы, связанные с показательным распределением непрерывной случайной величины $X$ не вдаваясь в подробности их вывода.
Определение 1
Показательным или экспоненциальным распределения непрерывной случайной величины $X$ называется распределение, плотность которого имеет вид:
Рисунок 1.
График плотности показательного распределения имеет вид (рис. 1):
Рисунок 2. График плотности показательного распределения.
Функция показательного распределения
Как нетрудно проверить, функция показательного распределения имеет вид:
Рисунок 3.
где $\gamma $ - положительная константа.
График функции показательного распределения имеет вид:
Рисунок 4. График функции показательного распределения.
Вероятность попадания случайной величины при показательном распределении
Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал $(\alpha ,\beta)$ при показательном распределении вычисляется по следующей формуле:
Математическое ожидание : $M\left(X\right)=\frac{1}{\gamma }.$
Дисперсия : $D\left(X\right)=\frac{1}{{\gamma }^2}.$
Среднее квадратическое отклонение: $\sigma \left(X\right)=\frac{1}{\gamma }$.
Пример задачи на показательное распределение
Пример 1
Случайная величина $X$ подчиняется экспоненциальному закону распределения. На участке области определения $\left \
В исходных факторах, мы свяжем факторы 1 - 7 с факторами из раздела VI. 3 в том порядке, в котором они записаны, т. е. фактор 1 - это усечение, фактор 2 - симметрия и т. д. Затем мы свяжем уровни + и - факторов в табл. 4 с двумя уровнями факторов VI. 3 случайным образом. Этот случайный порядок был достигнут с помощью таблицы случайных чисел и сравнением этих чисел с 1/2. Результаты этой процедуры показаны в табл. 5. Совмещение табл. 4 и 5 дает план в исходных факторах, приведенный в табл. 6, где Л1, (i = 1,. .., 4) обозначают неизвестные случайные величины , имеющие экспоненциальное распределение с параметром Ьг - Ь. В качестве примера рассмотрим комбинацию 1 в табл. 6. Факторы 1 и 2 находятся на уровне + в табл. 4. Следовательно, из табл. 5 мы должны взять усеченное, асимметричное распределение с поднятыми хвостами. В табл. 1 мы видим, что это распределение - экспоненциальное распределение случайной величины х. Фактор 6 находится на уровне
В нашем случае для технологических изделий объективные причины не позволяют пользоваться этими законами распределения . Во-первых, условием получения нормального закона являются совместные действия множества случайных факторов , ни один из которых не является доминирующим. Этому не соответствуют условия эксплуатации и выбраковки изделий технологического назначения, где обязательно фигурируют доминирующие факторы. Во-вторых, для экспоненциального закона обязательны условия ординарности, стационарности и последействия, которые зачастую не выполняются для этих изделий. В частности, поток отказов их нельзя считать стационарным вследствие меняющегося во времени вероятностного режима его.
Такая информация отражает сложившиеся условия производственных процессов и поэтому является выборкой из генеральной совокупности . На основании закона больших чисел можно утверждать, что если генеральная совокупность подчиняется определенному закону распределения , то и выборка из этой совокупности при достаточно большом ее объеме будет подчиняться этому закону. Чаще всего этот закон неизвестен, и определение его вызывает значительные трудности. В таких случаях предпочтение отдается хорошо известным законам распределения , чаще всего-экспоненциальному и нормальному.
Под словом случайно будем понимать, что вероятность прибытия на АЗС одного автомобиля за любой малый промежуток времени , начинающийся в произвольный момент времени / и имеющий длину т, с точностью до пренебрежимо малых величин пропорциональна т с некоторым коэффициентом пропорциональности X > 0. Величину К можно интерпретировать как среднее число автомобилей, появляющихся на станции за единицу времени, а обратную ей величину 1Л, - как среднее время появления одного автомобиля. Вероятность того, что за этот промежуток времени не прибудет ни одного автомобиля, считается приблизительно равной 1 - т, а вероятность прибытия двух или более автомобилей - величиной, пренебрежимо малой по сравнению со значением Ял. Из выдвинутых предположений можно получить следующие выводы. Во-первых, промежутки времени / между двумя последовательными прибытиями автомобилей удовлетворяют экспоненциальному распределению
Потери, возникающие в результате работы средств автоматизации за этот промежуток, могут быть подсчитаны на основе использования теории надежности, согласно которой внезапные отказы определяются как выход системы из строя вследствие возникновения непредвиденных, внезапных концентраций внешних нагрузок и внутренних напряжений, превышающих расчетные. Если часть элементов и соединений изготовлена или отремонтирована некачественно, то они будут отказывать при более низких нагрузках. Поэтому отказы дефектных элементов распределяются экспоненциально (рассматривается пуассоновский характер распределения внезапных выходов из строя), со средней наработкой в несколько раз меньшей, чем у остальных элементов.
Экспоненциальное распределение. Этому распределению, как правило, подчиняются наработки внезапных отказов (т. е. отказов вследствие скрытых дефектов технологии) и распределение времени между двумя последовательными отказами, если изделия работают в установившемся режиме .
Рассмотрим случай, когда исследуемый параметр распределен по экспоненциальному закону.
Я. Б. Шор дает следующую формулу для определения доверительного интервала для генеральной средней в случае распределения случайной величины по экспоненциальному закону
Несмотря на кажущуюся необременительность условий, при которых получено последнее выражение, в теоретическом отношении для ряда интересных случаев они оказываются невыполнимыми. Это происходит, когда производная g (x) в точке х = v обращается в бесконечность. В частности, так обстоят дела с двусторонним экспоненциальным распределением, с которым мы уже встречались в примерах 2 и 3 из . В одном варианте построения оптимального
В этой главе мы рассмотрим наиболее употребительные законы распределения случайных величин , а также основные параметры этих законов. Будут даны методы поиска функции распределения вероятности случайной величины в случае неинтегрируемой плотности вероятности , а также алгоритмы получения последовательностей случайных величин с произвольным законом распределения , что необходимо при моделировании случайных процессов . Особое внимание будет уделено обобщенному экспоненциальному распределению, которое наиболее пригодно при изучении ценообразования активов.
Одним из важнейших распределений, встречающихся в статистике, является нормальное распределение (распределение Гаусса), относящееся к классу экспоненциальных. Плотность вероятности этого распределения
Еще одним типом экспоненциального распределения, наряду с нормальным, является распределение Лапласа , плотность которого выражается формулой
Обобщенное экспоненциальное распределение.
Выше в этой главе были рассмотрены два вида экспоненциальных распределений Гаусса и Лапласа. У них много общего они симметричны, зависят от двух параметров (//, сг),
В VI. 2 мы коротко опишем ММР и цель эксперимента, т. е. изучение чувствительности ММР к нарушению его предпосылок. В VI.3 мы подробно обсудим различные факторы, которые могут влиять на эту чувствительность. Ненормальность распределения мы определим как фактор 1. Этот фактор описывает возможность или невозможность для случайных величин стать меньше заданной константы (так называемый фактор усеченное распределения) асимметрию и хвосты распределения мы примем фактором 2. Комбинируя факторы 1 и 2, мы выберем четыре типа распределений (экспоненциальное, Эрланга, взвешенную разность двух случайных величин с экспоненциальным распределением и сумму разностей случайных величин с экспоненциальным распределением). Неоднородность дисперсий будет обозначена как фактор 3. Это означает, что дисперсия наилучшей генеральной совокупности (afki) может быть либо больше, либо меньше дисперсии конкурирующей худшей совокупности (при наименее благоприятной ситуации). Фактор 4 измеряет, сильно ли различаются или не различаются вовсе эти две дисперсии. Фактор 5 показывает, являются ли дисперсии худших генеральных совокупностей (в наименее благоприятной ситуации) равными или они все различны. Фактор 6 определяет число совокупностей (три или семь) фактор 7 определяет расстояние 8 = 6 между наилучшей и следующей за ней совокупностями в наименее благоприятной ситуации . Фактор Р, гарантирующий минимальное значение вероятности правильного выбора, рассматривается
Такая информация является выборкой из генеральной, совокупности, имеющей определенный закон распределения . Чащевсе-го этот закон неизвестен и определение его вызывает зиждительные трудности. В таких случаях предпочтение отдается х >ошо известным законам распределения , чаще всего - экспоненциальному и нормальному.
законов распределения . В частности, при b = 1 он превращается в экспоненциальный закон , при b = 2 - в закон Релея, при b - = 3,25 - близок к нормальному. Зто обстоятельство позволяет использовать один и тот математический аппарат при исследовании самых различных потоков отказов изделий. Кроме того, этот
В ряде исследований утверждается, что для отказов технических изделий вследствие износа, усталости, коррозии и старения вполне удовлетворительным будет нормальный или логарифмически нормальный закон распределения , в случае же внезапных отказов, возникающих вследствие случ-айных перегрузок, аварий и т. д., подходит экспоненциальный закон распределения .
Универсальность данного закона объясняется тем, что при различных значениях параметра b он приближается к ряду законов распределения . В частности, при Ь = он превращается в экспоненциальный закон , при 6=2 - в закон Релея, при Ь = = 3,25 - близок к нормальному.
В данном примере мы рассмотрели самый простой случай пуассоновский входной поток , экспоненциальное время обслуживания , одна обслуживающая установка. На самом деле, в реальности, и распределения бывают значительно сложнее, и АЗС включают в себя большее число бензоколонок. Для того чтобы упорядочить классификацию систем массового обслуживания , американский математик Д. Кен-далл предложил удобную систему обозначений, широко распространившуюся к настоящему времени. Тип системы массового обслуживания Кендалл обозначил с помощью трех символов, первый из которых описывает тип входного потока , второй - тип вероятностного описания системы обслуживания , а третий - количество обслуживающих приборов. Символом М он обозначал пуассоновское распределение входного потока (с экспоненциальным распределением интервалов между заявками), этот же символ применялся и для экспоненциального распределения продолжительности обслуживания. Таким образом, описанная и изученная в этом параграфе система массового обслуживания имеет обозначение М/М/1. Система M/G/3, например, расшифровывается как система с пуассоновским входным потоком , общей (по-английски - general) функцией распределения времени обслуживания и тремя обслуживающими устройствами. Встречаются и другие обозначения D -детерминированное распределение интервалов между поступлением заявок или длительностей обслуживания, Е - распределение Эрланга порядка п и т. д.
На основе изложенных здесь методов построения последовательностей случайных чисел с различными распределениями можно построить процедуры randl и rand2, использовавшиеся в программе на языке алгол для расчетов по модели автозаправочной станции . Если используемые случайные интервалы между автомобилями и продолжительности обслуживания имеют экспоненциальное распределение, то лучше использовать метод обратных функций , а если некоторое эмпирическое распределение, то - метод, основанный на запоминании дискретных значений в оперативной памяти ЭВМ.
Перейдем к описанию времени обслуживания автомобиля. Поскольку водители берут разное количество бензина и различаются между собой по сноровке, то время обслуживания вряд ли можно считать постоянным. Пусть вероятность того, что обслуживание автомобиля, находящегося на заправке в любой момент t, будет завершено в малом интервале U, f + rJ, приблизительно равна JLIT, где и > 0. Вероятность того, что обслуживание за этот промежуток времени не закончится, считается приблизительно равной 1 - цт, а вероятность того, что будет закончено обслужи-. ванне двух и более автомобилей, - пренебрежимо малой величиной. Тогда