Кинетическая и потенциальная энергии.

Кинетическая энергия тела является мерой его механического движения и определяется работой, которую необходимо совершить, чтобы вызвать данное движение тела. Если сила F действует на покоящееся тело и вызывает его движение со скоростью v, то она совершает работу, а энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной работы. Таким образом, работа силы F на пути, который тело прошло за время возрастания скорости от 0 до v, идет на увеличение кинетической энергии тела, т. е. dA = dT.

Используя скалярную запись второго закона Ньютона F =mdv/dt и умножая обе части равенства на перемещение ds, получим

Так как

И

Таким образом, для тела массой т, движущегося со скоростью v, кинетическая энергия

Из формулы (12.1) видно, что кинетическая энергия зависит только от массы и скорости тела, т. е. кинетическая энергия системы есть функция состояния ее движения.

При выводе формулы (12.1) предполагалось, что движение рассматривается в инерциальной системе отсчета, так как иначе нельзя было бы использовать закон Ньютона. В разных инерциальных системах отсчета, движущихся друг относительно друга, скорость тела, а, следовательно, и его кинетическая энергия будут неодинаковы. Таким образом, кинетическая энергия зависит от выбора системы отсчета.

Потенциальная энергия - часть общей механической энергии системы, определяемая взаимным расположением тел и характером сил взаимодействия между ними.

Пусть взаимодействие тел осуществляется посредством силовых полей (например, поля упругих сил, поля гравитационных сил), характеризующихся тем, что работа, совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного
положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений. Такие поля называются потенциальными, а силы, действующие в них,- консервативными. Если же работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такие силы называются диссипативными; примером их являются силы трения.

Тело, находясь в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией П, которая определяется с точностью до некоторой произвольной постоянной. Это, однако, не отражается на физических законах, так как в них входит или разность потенциальных энергий в двух положениях тела, или производная П по координатам. Поэтому потенциальную энергию какого-то определенного положения тела считают равной нулю (выбирают нулевой уровень отсчета), а энергию других положений отсчитывают относительно нулевого уровня.

Потенциальная энергия тела обычно определяется работой, которую совершили бы действующие на него внешние силы, преодолевающие консервативные силы взаимодействия, перемещая его из конечного состояния, где потенциальная энергия равна нулю, в данное положение. Работа консервативных сил, приложенных к телу, равна изменению потенциальной энергии этого тела, взятому с обратным знаком, т. е.

так как работа совершается за счет убыли потенциальной энергии.

Поскольку работа dA есть скалярное произведение силы F на перемещение dr, то выражение (12.2) можно записать в виде

Следовательно, если известна функция П(г), то (12.3) полностью определяет силу F по модулю и направлению. В случае консервативных сил

или в векторном виде

где символом grad П обозначена сумма

(12.5)

где i, j, k- единичные векторы координатных осей. Вектор, определяемый выражением (12.5), называется градиентом скаляра П. Для него наряду с обозначением grad П применяется также обозначение Ñ П. Ñ(«набла») означает символический вектор, называемый оператором Гамильтона или набла-оператором:

(12.6)

Конкретный вид функции П зависит от характера силового поля. Например, потенциальная энергия тела массой m, поднятого на высоту h над поверхностью Земли, равна

, (12.7)

где h - высота, отсчитанная от нулевого уровня, для которого П 0 = 0. Выражение (12.7) вытекает непосредственно из того, что потенциальная энергия равна работе силы тяжести: при падении тела с высоты h на поверхность Земли.

Так как начало отсчета выбирается произвольно, то потенциальная энергия может иметь отрицательное значение (кинетическая энергия всегда положительна!). Если принять за нуль потенциальную энергию тела, лежащего на поверхности Земли, то потенциальная энергия тела, находящегося на дне тахты (глубина h"),

С понятием работы тесно связано другое фундаментальное физическое понятие – понятие энергии. Поскольку в механике изучается, во-первых, движение тел, а во-вторых, взаимодействие тел между собой, то принято различать два вида механической энергии: кинетическую энергию , обусловленную движением тела, и потенциальную энергию , обусловленную взаимодействием тела с другими телами.

Кинетической энергией механической системы называют энергию, з ависящую от скоростей движения точек этой системы.

Выражение для кинетической энергии можно найти, определив работу равнодействующей силы, приложенной к материальной точке. На основании (2.24) запишем формулу для элементарной работы равнодействующей силы:

Так как
, то dА = mυdυ. (2.25)

Чтобы найти работу равнодействующей силы при изменении скорости тела от υ 1 до υ 2 проинтегрируем выражение (2.29):

(2.26)

Так как работа - мера передачи энергии от одного тела другому, то на

основании (2.30) запишем, что величина есть кинетическая энергия

тела:
откуда вместо (1.44) получаем

(2.27)

Теорему, выраженную формулой (2.30) принято называть теоремой о кинетической энергии . В соответствии с ней работа сил, действующих на тело (или систему тел), равна изменению кинетической энергии этого тела (или системы тел).

Из теоремы о кинетической энергии следует физический смысл кинетической энергии : кинетическая энергия тела равна работе, которую оно способно совершать в процессе уменьшения своей скорости до нуля. Чем больше «запас» кинетической энергии у тела, тем большую работу оно способно совершить.

Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий материальных точек, из которых эта система состоит:

(2.28)

Если работа всех сил, действующих на тело, положительна, то кинетическая энергия тела возрастает, если работа отрицательна, то кинетическая энергия убывает.

Очевидно, что элементарная работа равнодействующей всех приложенных к телу сил будет равна элементарному изменению кинетической энергии тела:

dА = dЕ к. (2.29)

В заключение заметим, что кинетическая энергия, как и скорость движения, имеет относительный характер. Например, кинетическая энергия пассажира, сидящего в поезде, будет разной, если рассматривать движение относительно полотна дороги или относительно вагона.

§2.7 Потенциальная энергия

Вторым видом механической энергии является потенциальная энергия – энергия, обусловленная взаимодействием тел.

Потенциальная энергия характеризует не любое взаимодействие тел, а лишь такое, которое описывается силами, не зависящими от скорости. Большинство сил (сила тяжести, сила упругости, гравитационные силы и т.д.) именно таковы; исключением являются лишь силы трения. Работа рассматриваемых сил не зависит от формы траектории, а определяется лишь её начальным и конечным положением. Работа таких сил на замкнутой траектории равна нулю.

Силы, работа которых не зависит от формы траектории, а зависит лишь от начального и конечного положения материальной точки (тела) называют потенциальными или консервативными силами .

Если тело взаимодействует со своим окружением посредством потенциальных сил, то для характеристики этого взаимодействия можно ввести понятие потенциальной энергии.

Потенциальной называют энергию, обусловленную взаимодействием тел и зави­сящую от их взаимного расположения.

Найдем потенциальную энергию тела, поднятого над землей. Пусть тело массой m равномерно перемещается в гравитационном поле из положения 1 в положение 2 по поверхности, сечение которой плоскостью чертежа показано на рис. 2.8. Это сечение является траекторией материальной точки (тела). Если трение отсутствует, то на точку дейст­вуют три силы:

1) сила N со стороны поверхности нормально поверхности, работа этой силы равна нулю;

2) сила тяжести mg, работа этой силы А 12 ;

3) сила тяги F со стороны некоторого движущего тела (двигатель внутреннего сгорания, электродвигатель, человек и т. п.); работу этой силы обозначим А T .

Рассмотрим работу силы тяжести при перемещении тела вдоль наклонной плоскости длиной ℓ (рис. 2.9). Как видно из этого рисунка, работа равна

А" = mgℓ соsα = mgℓ соs(90° + α) = - mgℓ sinα

Из треугольника ВСD имеем ℓ sinα = h, по­этому из последней формулы следует:

Траекторию движения тела (см. рис. 2.8) можно схематично представить небольшими участками наклонной плоскости, поэтому для, работы силы тяжести на всей траектории 1 -2 справедливо выражение

A 12 =mg (h 1 -h 2) =-(mg h 2 - mg h 1) (2.30)

Итак, работа силы тяжести не зависит от траектории тела, а зависит от различия в высотах расположения начальной и конечной точек траектории.

Величину

е п = mg h (2.31)

называют потенциальной энергией материальной точки (тела) массой m поднятой над землей на высоту h. Следовательно, формулу (2.30) можно переписать так:

A 12 = =-(En 2 - En 1) или A 12 = =-ΔEn (2.32)

Работа силы тяжести равна взятому с обратным знаком изменению потенциальной энергии тел, т. е. разности ее конечного и начального значений (теорема о потенциальной энергии ).

Подобные рассуждения можно привести и для упруго деформированного тела.

(2.33)

Отметим, что физический смысл имеет разность потенциальных энергий как величина, определяющая работу консервативных сил. В связи с этим безразлично, какому положению, конфигурации, следует приписать нулевую потенциальную энергию.

Из теоремы о потенциальной энергии можно получить одно очень важное следствие: консервативные силы всегда направлены в сторону уменьшения потенциальной энергии. Установленная закономерность проявляется в том, что любая система, предоставленная самой себе, всегда стремится перейти в такое состояние, в котором её потенциальная энергия имеет наименьшее значение. В этом заключается принцип минимума потенциальной энергии .

Если система в данном состоянии не обладает минимальной потенциальной энергией, то это состояние называют энергетически невыгодным .

Если шарик находится на дне вогнутой чаши (рис.2.10,а), где его потенциальная энергия минимальна (по сравнению с ее значениями в соседних положениях), то его состояние более выгодно. Равновесие шарика в этом случае является устойчивым : если сместить шарик в сторону и отпустить, то он снова возвратится в своё первоначальное положение.

Энергетически невыгодным, например, является положение шарика на вершине выпуклой поверхности (рис.2.10, б). Сумма сил, действующих при этом на шарик, равна нулю, и потому, этот шарик будет находится в равновесии. Однако равновесие это является неустойчивым : достаточно малейшего воздействия, чтобы он скатился вниз и тем самым перешёл в состояние энергетически более выгодное, т.е. обладающее меньшей

потенциальной энергией.

При безразличном равновесии (рис. 2.10, в) потенциальная энергия тела равна потенциальной энергии всех его возможных ближайших состояний.

На рисунке 2.11 можно указать некоторую ограниченную область пространства (например cd), в которой потенциальная энергия меньше, чем вне её. Эта область получила название потенциальной ямы .

Потенциальной энергией называется энергия, которая определяется взаимным положением взаимодействующих тел или частей одного и того же тела.

Потенциальной энергией, например, обладает тело, поднятое над Землей, потому что энергия тела зависит от взаимного положения его и Земли и их взаимного притяжения. Потенциальная энергия тела, лежащего на Земле, равна нулю. А потенциальная энергия этого тела, поднятого на некоторую высоту, определится работой, которую совершит сила тяжести при падении тела на Землю. Огромной потенциальной энергией обладает речная вода, удерживаемая плотиной. Падая вниз, она совершает работу, приводя в движение мощные турбины электростанций.

Потенциальную энергию тела обозначают символом E п.

Так как E п = A, то

E п = Fh

E п = gmh

E п – потенциальная энергия; g – ускорение свободного падения, равное 9,8 Н/кг; m – масса тела, h – высота, на которую поднято тело.

Кинетической энергией называется энергия, которой обладает тело вследствие своего движения.

Кинетическая энергия тела зависит от его скорости и массы. Например, чем больше скорость падения воды в реке и чем больше масса этой воды, тем сильнее будут вращаться турбины электростанций.

mv 2
E k = --
2

E k – кинетическая энергия; m – масса тела; v – скорость движения тела.

В природе, технике, быту один вид механической энергии обычно превращается в другой: потенциальная в кинетическую и кинетическая в потенциальную.

Например, при падении воды с плотины ее потенциальная энергия превращается в кинетическую. В качающемся маятнике периодически эти виды энергии переходят друг в друга.

Обозначающего «действие». Можно назвать энергичным человека, который двигается, создает определенную работу, может творить, действовать. Также энергией обладают машины, созданные людьми, живая и природа. Но это в обычной жизни. Помимо этого, есть строгая , определившая и обозначившая многие виды энергии – электрическую, магнитную, атомную и пр. Однако сейчас речь пойдет о потенциальной энергии, которую нельзя рассматривать в отрыве от кинетической.

Кинетическая энергия

Этой энергией, согласно представлениям механики обладают все тела, которые взаимодействуют друг с другом. И в данном случае речь идет о движении тел.

Потенциальная энергия

A=Fs=Fт*h=mgh, или Eп=mgh, где:
Eп - потенциальная энергия тела,
m - масса тела,
h - высота тела над поверхностью земли,
g - ускорение свободного падения.

Два вида потенциальной энергии

У потенциальной энергии различается два вида:

1. Энергия при взаимном расположении тел. Такой энергией обладает подвешенный камень. Интересно, но потенциальной энергией обладают и обычные дрова или уголь. В них содержится не окисленный углерод, который может окислиться. Если сказать проще, сгоревшие дрова потенциально могут нагреть воду.

2. Энергия упругой деформации. Для примера здесь можно привести эластичный жгут, сжатую пружину или система «кости-мышцы-связки».

Потенциальная и кинетическая энергия взаимосвязаны. Они могут переходит друг в друга. К примеру, если камень вверх, при движении сначала он обладает кинетической энергией. Когда он достигнет определенной точки, то на мгновение замрет и получит потенциальную энергию, а затем гравитация потянет его вниз и снова возникнет кинетическая энергия.

Кинетическая энергия - это энергия движения тела. Соотвественно, если у нас есть какой-то объект, обладающий хоть какой-то массой и хоть какой-то скоростью, то он и обладает кинетической энергией. Однако относительно разных систем отсчета эта кинетическая энергия у одного и того же объекта может быть разной.

Пример. Есть бабушка, которая относительно земли нашей планеты находится в состоянии покоя, то есть не движется и, скажем, сидит на остановке в ожидании своего автобуса. Тогда относительно нашей планеты ее кинетическая энергия равна нулю. Но если посмотреть на эту же бабушку с Луны или с Солнца, относительно которых можно наблюдать движение планеты и, соответственно, этой бабушки, которая находится на нашей планете, то бабушка уже будет обладать кинетической энергией относительно упомянутых небесных тел. И тут приезжает автобус. Эта самая бабушка быстро встает и бежит занимать положенное ей место. Теперь относительно планеты она уже не в покое, а вполне себе движется. А значит и обладает кинетической энергией. И чем толще бабушка и быстрее, тем больше ее кинетическая энергия.

Есть несколько фундаментальных видов энергии - основных. Расскажу, например, про механические. К ним относятся энергия кинетическая, которая зависит от скорости и массы объекта, энергия потенциальная, которая зависит от того, где вы возьмете нулевой уровень потенциальной энергии, и от того положения, где находится этот объект относительно нулевого уровня потенциальной энергии. То есть потенциальная энергия - энергия, зависящая от положения объекта. Эта энергия характеризует работу, совершаемую полем, в котором находится объект, по его перемещению.

Пример. Несете вы в руках огромную коробку и падаете. Коробка лежит на полу. Выходит, что нулевой уровень потенциальной энергии у вас будет находится, соответственно, на уровне пола. Тогда верхняя часть коробки будет обладать большей потенциальной энергией, так как она находится выше пола и выше нулевого уровня потенциальной энергии.

Глупо говорить про энергию, не упомянув закон о ее сохранении. Таким образом, по закону сохранения энергии, эти два ее вида, описывающих состояние объекта, ни откуда не берутся и никуда не исчезают, а только переходят друг в друга.

А вот и пример. Падаю я с высоты дома, изначально имея потенциальную энергию относительно земли в момент перед прыжком, а моя кинетическая энергия пренебрежимо мала, поэтому можем приравнять её к нулю. Вот я отрываю ножки от карниза и моя потенциальная энергия начинает уменьшаться, так как высота, на которой я нахожусь, становится все меньше и меньше. В этот же момент при падении вниз я постепенно приобретаю кинетическую энергию, так как падаю вниз все с большей скоростью. В момент падения я уже обладаю максимальной кинетической энергией, но потенциальная равно нулю, такие дела.